mathjax

Pazar, Nisan 15, 2012

Zar Oyunu - Soru Maratonu 2010

Aytekin'in sorusunu buraya taşıyorum.
  • aytekin dedi ki:
    hocam merhaba hocam sayfanız aracılığıyla takip eden arkadaşlara 
    bir soru sormak istiyorum sanırım 2010 soru maratonu sorusuydu 
    SORU:Bir zarı arka arkaya atıyoruz attığımız zar bir öncekinden 
    küçük gelirse duruyoruz ve o ana kadar gelen tüm zarları topluyoruz.
    Bu işlem bir çok kez tekrar edilse elde edilecek ortalama puanın ne 
    olması beklenir?sorunun çözümünü anlatan olursa çok sevinirim
  • adsız dedi ki:
    aytekin merhaba çözümü anlatmak zor ama cevabı buldum sanırım 
    yanlış da olabilir cevap 10.5 çıkıyor iyi akşamlar bir de şunu 
    ekleyeyim soru tam olarak böyle değildi sanırım

Cevap, tam olarak 10.5 değil. Doğrusu, 10.450944 ya da kesirle ifade etmek gerekirse, 163296/15625.

Çözüm yolu hakkında da fikir verebilirim. Önce, ilk zarı 6 atma ihtimalini düşünelim ve bu durumda ortalama kaç puan alabileceğimizi hesaplayalım. 6 ile başlayarak toplanan puanın beklenen değerine \(x_6\) diyelim. Bu durumda, \(x_6=6\cdot1/6+1/6(x_6+15/6)\) denklemi elde edilir (15=1+2+3+4+5). Bu denklemi çözerksek, \(x_6=17/10\) bulunur.

Benzer şekilde, ilk zarın 5 gelme durumunda elde edilecek ortalama puana bakalım. Burada, denklem olarak \(x_5=5\cdot 1/6+1/6(x_6+x_5+10/6)\) denklemi elde edilir. Yukarıda bulduğumuz \(x_6\)'yı burada yerine koyarsak, \(x_5=251/150\) sonucu elde edilir.

Devam edersek, \(x_4=628/375, x_3=2137/1250, x_2=16733/9375, x_1=178921/93750\) bulunur. Cevap ise, \(x_1+x_2+\dotsb+x_6=163296/15625\) bulunur.

Çarşamba, Mart 21, 2012

Simla

Kızımızın adını Simla koyduk. Üniversitedeki bir arkadaşımın adıydı, ilk duyduğum andan itibaren (1993) sevmiştim bu ismi. Eşimle zaman zaman çocuk isimlerini konuşurken, listemize almıştık; o da beğenmişti.

Derken, bir kızımız olacağını öğrendik. İsim arama/bulma sürecinde çevreden çok fazla talep/eleştiri geliyor. Aklınızdaki isimler bile bir süre sonra tuhaf gelmeye başlıyor. Üzerinde yoğunlaştıkça anlamsızlaşıyor süreç. Kaç isim olacak, Türkçe karakter olacak mı, yabancılar nasıl telafuz edecek, anlamı ne, kutsal metinlerde yer alıyor mu, aile büyükleri ne der, çok standart bir isim mi, vesaire vesaire... Listeyi biraz abartarak uzattım ama düşünmeye başlayınca bu işin sonu yok. Mesela, ismindeki harflarden başka hangi isimler veya kelimeler türetilebilir, anne-babanın isimleriyle uyumlu mu, peki soyadıyla uyumlu mu, ya da mevcut veya gelecek iktidarlar için olumlu veya olumsuz bir anlamı olur mu, gereksiz bir önyargıya kurban gitmesin mi, kimliğini yansıtan bir isim olsun ve dünya-alem bilsin mi yapıtaşlarını...

Ben, tüm bu süreci kısmen rahat atlattım. Daha önceden belirlemiş olduğumuz 3-5 isimden biriydi Simla ve sonunda bu isimde karar kıldık. Eşimin de istediği bir isimlerden biriydi ve birlikte bu ismi kararlaştırdık.

Simla'nın kelime anlamı, kısaca "Kar Prensesi"dir. Kökeni, Hindistan'a dayanır, Sanskritçe'den gelir. Aslında, zirvesi dört mevsim boyunca karlarla kaplı bir dağın adı Simla. Sürekli karlar altında olduğu için, "Kar Prensesi" veya "Kar Kraliçesi" anlamı verilmiş Simla'ya. Hatta, Simla dağının zirvesindeki karlara kolay ulaşılamadığı için, "el değmemiş, ayak basılmamış kar" ve "dokunulmamış kar kadar temiz (ve saf)" anlamlarına bürünmüş Simla kelimesi.

Kelimenin bu anlamlarını öğrendikten sonra, isim koyma konusunda çok da zorlanmadık doğrusu. Farklı kaynaklarda (özellikle internette) gelişigüzel anlamlar ithaf edilmiş. Ne kadarı zorlama, ne kadarı gerçek bilemem. İşin bu kısmı dilbilimcilerin işi. Kızımın adını koyan ebeveynleri olarak, bizim bildiğimiz ve benimsediğimiz anlamı, "Kar Prensesi"dir. Zaten, on yıllardır kar yağmayan memleketimize kızımın doğumundan hemen önce karlar yağdı. Adını kendi getirdi kızım, Simlâ'm.

Not: Sanskritçe, Simla kelimesi Şimla olarak okunuyormuş, yazılışı yine Simla. Bu isimde, şehirleri, marketleri, fırınları, oyuncuları, modelleri, vb., mevcut. Türkçe'de ise biz Simla'yı okurken "a"yı yumuşatarak okuyoruz, yani Simlâ şeklinde. Birgün ailecek Simla tatil köyüne gideriz belki...

Salı, Ocak 31, 2012

Soru Maratonu 2011: Çözümler 2

Son yazımda, İki Harfli Kitap ve Tartı Seti sorularının çözümleriyle devam edeceğimi belirtmiştim. Fırsat buldukça veya soran oldukça, ilginç olan çözümleri paylaşmaya devam edeceğiz.

NOT: Aşağıda, ilgili soruların çözümleri verilmiştir. Kendi çözümünüzü keşfetmeden önce bu çözümleri incelemek yaratıcı zekânızı köreltebilir. Her zaman için en iyi çözüm, kendi çözümünüzdür. Bu tip sorularla ilgili çok fazla mesaj aldığım için, merak edenlere soruların analitik çözümlerini sunuyorum.

--o-o-- Yukarıdaki UYARIyı okuduysanız, devam edebilirsiniz. --o-o--

Tartı Seti ile başlayalım: Her toptan 3'er adet var. Sol kefedeki topları negatif değerli, sağ kefedeki topları pozitif değerli düşünelim. O zaman, her top seti için 7 farklı seçenek söz konusu: -3,-2,-1,0,1,2,3. Şimdi, 3 farklı setimiz olduğuna göre, 7x7x7=343 farklı durum ortaya çıkarabiliriz. Ancak, bu 343 durumdan 1'i 0 (sıfır) durumu ve kalan tüm diğer ağırlıkların (durumların) negatif ve pozitif olmak üzere 2'şer kopyası var. Negatif ve sıfır olanları çıkarırsak, geriye sadece 342/2=171 durum kalır. Cevap 171. Bu cevabı doğrulamak istersek, 3x1, 3x7 ve 3x49'luk bir tartı setini kullanabiliriz. Sanırım cevap hakkında şüphesi olanları bu son doğrulama ikna eder.

İki Harfli Kitap ile devam edelim: Birden fazla çözüm var aslında, birçok da basit program aracılığıyla algoritmik çözümü. Burada, daha matematiksel bir çözümü sunacağım. Öncelikle bir gözlemle başlayalım ve istenen durumların birkaçını listeyelelim.

---- (I) ----
ABA

---- (II)----
AABA
AAA*---*AABA
AABB*--*AABA
ABB*---*AABA
----(III)----
BAABA
BABB*---*AABA
BBA*----*AABA
BBB*----*AABA
***

A ile başlanan ve ABA'nın BABA'dan önce gerçekleştiği en az 4 harften oluşan tüm olayların (yukarıdaki (II) nolu grup) olasılığına "p" diyelim. Bu gruptaki, her olayın başına 1 adet B koyarsak, BA ile başlayan ve ABA'nın BABA'dan önce geldiği tüm olayları bulabiliriz. Bunun olasılığı ise ilk harften dolayı p/2 olur. Benzer şekilde, BBA ile başlayanların olasılığı p/4, BBBA ile başlayanların olasılığı p/8, ..., ve hepsini toplarsak B ile başlayan istenen durumların olasılığı p/2+p/4+p/8+...=p olur. Yani, A ile başlayanların (ve en az 4 harf içerenlerin) olasılığı p ise, B ile başlayanların da olasılığı p olur. Dolayısıyla, toplam cevap 2p+1/8 (1/8, 3 harfli ilk olay için geçerli).

p'nin değerini bulmak için yukarıdaki tabloda verilen tüm durumlara yakından bakalım, özellikle A ile başlayan gruba:

-------------
AABA
AAA*---*AABA
AABB*--*AABA
ABB*---*AABA
-------------

Bu gruptaki her olayın ilk harfi A, bunu çıkarırsak geriye ne kalır:

-------------
ABA
AA*---*AABA
ABB*--*AABA
BB*---*AABA
-------------

Peki, sadece bu olayların ihtimali nedir: 1/8+p+p/2 (*). Baştaki sildiğimiz A'nın olasığını da işin içine katarsak; 1/2(1/8+p+p/2)=1/16+3p/4. Ama bu grubun olasılığına en başta p demiştik. Dolayısıyla, p=1/16+3p/4 => p=1/4 => Cevap: 2p+1/8=5/8.

(*): 1/8, ABA'nın (en başta) gerçekleşme olasığı,
p, A ile başlayanların olasılığı,
p/2, BB ile başlayanların olasılığı (daha önce yaptığımız mantıkla, yani p/4+p/8+p/16+...=p/2).

Dipnot: Yukarıdaki çözümün en basit/güzel/kısa/zeki/vs. çözüm olduğunu iddia etmiyorum, sonsuz farklı çözümden sadece biri.

Pazartesi, Ocak 23, 2012

Soru Maratonu 2011 - Nihayet

Soru Maratonu sonuçları nihayet açıklanmış. Yarışmayı bitiren (ve katılan) herkese tebrikler.

Daha önce söz verdiğim bir-iki çözüm vardı. O çözümleri, merak edenler için paylaşmak istiyorum. Ancak, soruların cevaplarını veya çözümlerini paylaşmak, çoğu zaman yanlıştır. Dolayısıyla, soruların cazibesine kapılanlara tavsiyem, bu çözümlere veya cevaplara bakmamalarıdır.

Yeni yarışma fikrimize destek veren herkese teşekkür ederim. Yorum yazarak, facebook üzerinden mesaj göndererek, eposta yazarak, bu yarışma için bize hem cesaret verdiniz, hem de alternatif bir yarışmanın gerekliliğini gösterdiniz. Detayları ve yarışma formatını birkaç içinde açıklamayı umuyoruz. Ekipte yer almak isteyen herkes davetlidir. Aslında, sorulardan bir veya birkaçının yarışmacılar tarafından sorulmasını, ve en çok beğenilen soruların yarışmaya dahil edilmesini ve soruyu soran yarışmacıya da sorudan en çok puan alan kadar bonus verilmesi gibi fikirlerimiz var. Bu arada, yanlış ama yakın cevaplar için de kısmi puan verilecek, mesela, bu seneki meşhur Sıralama sorusu için 25 cevabını verenle 35 cevabını veren aynı puanı paylaşmayacak. 25 cevabı, gerçek cevaba yakın olduğu için belli bir oranda "teselli" puanı alacak. Tüm detaylar henüz belli değil, üzerinde tartışıyoruz, her fikrin artısını ve eksisini düşünüyoruz.

Gelelim çözümlere. Piyon sorusuyla başlayalım. Cevap 216=65536. Öncelikle, 4x4'lük kare alana kaç farklı şekilde piyon yerleştirebilirsiniz? Toplam 16 kare var ve her karede bir piyon var veya yok, yani her kare için 2 ihtimal var. Dolayısıyla, toplamda 216=65536 farklı şekilde piyon yerleştirebiliriz. Şimdi, soru 5x5lik bir alan için sorulmuştu ve her satır ve sütunda "tek sayıda" piyon isteniyordu. Yapmamız gereken, son sütuna ve son satıra, ilgili satırın veya sütunun üzerinde tek sayıda piyon olacak şekilde karar vererek piyon yerleştirmek veya boş bırakmak. Son kare ise, dikkat ederseniz, hem son satırı hem de son sütunu tek sayıya birlikte getiriyor. Teker teker saymaya da gerek yok, oturup program yazmaya da.

Sırada, İki Harfli Kitap ve Tart Seti soruları var. Bir sonraki yazımıza...

Perşembe, Ocak 12, 2012

Sonuçlar ve TZV hakkında

PuzzleUp sonuçları açıklanmış. Düşündüğümden kötü çıktı sonuçlar. Demek ki, 2008 Soru Maratonu'na katılanlar kendi yanlışlarını zamanında bulamamışlar. Ve dahası, cevapların daha önce birçok kişi tarafından paylaşılmış olmasına rağmen, dereceye Türkiye'den giren çok az kişi var. Benim buradan çıkardığım sonuç, TZV PuzzleUp'ı başarılı bir şekilde ulusarası arenada tanıtmış ve Soru Maratonu'ndan daha iyi bir yarışmacı grubuna sahip. Bu hususta, TZV'yi tebrik etmek gerekiyor (her ne kadar bu sene yeterince batırmış olsalar da).

Soru Maratonu sonuçları birkaç güne açıklanacakmış. Merakla bekliyoruz neticeyi. Cevapları, çözümleri merak edenler biraz daha sabretmek zorunda kalacaklar.

Bugün Emrehan Bey'le uzun bir telefon görüşmesi yaptık. İzni olmadan, detayları paylaşamam. Ama bu seneki eleştirilerimde sürekli "vurdumduymazlıkla" suçladığım TZV, geri bildirimde bulunmasa bile, her itirazı ve öneriyi yeterince ciddiye alıyormuş. Seneye değişen birşeyler olur mu bilmiyorum, konuşmadık. Ama, bir sıkıntısı olan varsa, yazmaktan çekinmesin. Sadece, her zaman geri-bildirim beklemeyin. Haklarında yazdığım onca eleştiriden sonra, bu bilgiyi de paylaşmam gerektiğini düşündüm.

Vakıf web-sitesindeki iletişim sayfasından, konuyla ilgili diğer kişilere de ulaşabilirsiniz. Önemli olan, bence, iletişim kanallarını açık tutmak.

İletişim(sizlik), çağımızın en büyük problerinden biri. O yüzden, ısrarla, iletişim kurmaya çalışın ve derdinizi anlatın.

Son bir haber vermek istiyorum: Benzer bir yarışma için kendi ekibimizi kuruyoruz. Sanırım, herkes için en iyisi bu. Altından kalkabilir miyiz bilmiyorum, ama sanırım denemek lazım. Yarışmacı olarak yılların tecrübesi var, bakalım soru sormak konusunda ne kadar başarılı olacağız. Proje gerçekleştğinde duyurusunu buradan yaparım. Soruların lise öğrencilerine yönelik olmasını istiyoruz ama tabii ki 7den 77e herkese açık olacak, sadece bilgi anlamında ileri seviye tekniklere dayalı olmayan sorular olacak ve her sorunun çözümünü yayınlayacağız. Bazen cevap, bazen de çözüm/ispat isteyeceğiz. Ne de olsa, tesadüfi bulunan cevapları elemek istiyoruz. Kısmi puanlama da olacak.