Son yazımda,
İki Harfli Kitap ve
Tartı Seti sorularının çözümleriyle devam edeceğimi belirtmiştim. Fırsat buldukça veya soran oldukça, ilginç olan çözümleri paylaşmaya devam edeceğiz.
NOT: Aşağıda, ilgili soruların çözümleri verilmiştir. Kendi çözümünüzü keşfetmeden önce bu çözümleri incelemek yaratıcı zekânızı köreltebilir. Her zaman için en iyi çözüm, kendi çözümünüzdür. Bu tip sorularla ilgili çok fazla mesaj aldığım için, merak edenlere soruların analitik çözümlerini sunuyorum.
--o-o-- Yukarıdaki
UYARIyı okuduysanız, devam edebilirsiniz. --o-o--
Tartı Seti ile başlayalım: Her toptan 3'er adet var. Sol kefedeki topları negatif değerli, sağ kefedeki topları pozitif değerli düşünelim. O zaman, her top seti için 7 farklı seçenek söz konusu: -3,-2,-1,0,1,2,3. Şimdi, 3 farklı setimiz olduğuna göre, 7x7x7=343 farklı durum ortaya çıkarabiliriz. Ancak, bu 343 durumdan 1'i 0 (sıfır) durumu ve kalan tüm diğer ağırlıkların (durumların) negatif ve pozitif olmak üzere 2'şer kopyası var. Negatif ve sıfır olanları çıkarırsak, geriye sadece 342/2=171 durum kalır. Cevap 171. Bu cevabı doğrulamak istersek, 3x1, 3x7 ve 3x49'luk bir tartı setini kullanabiliriz. Sanırım cevap hakkında şüphesi olanları bu son doğrulama ikna eder.
İki Harfli Kitap ile devam edelim: Birden fazla çözüm var aslında, birçok da basit program aracılığıyla algoritmik çözümü. Burada, daha matematiksel bir çözümü sunacağım. Öncelikle bir gözlemle başlayalım ve istenen durumların birkaçını listeyelelim.
---- (I) ----
ABA
---- (II)----
AABA
AAA*---*AABA
AABB*--*AABA
ABB*---*AABA
----(III)----
BAABA
BABB*---*AABA
BBA*----*AABA
BBB*----*AABA
***
A ile başlanan ve
ABA'nın
BABA'dan önce gerçekleştiği en az 4 harften oluşan tüm olayların (yukarıdaki
(II) nolu grup) olasılığına "
p" diyelim. Bu gruptaki, her olayın başına 1 adet
B koyarsak,
BA ile başlayan ve
ABA'nın
BABA'dan önce geldiği tüm olayları bulabiliriz. Bunun olasılığı ise ilk harften dolayı
p/2 olur. Benzer şekilde,
BBA ile başlayanların olasılığı
p/4,
BBBA ile başlayanların olasılığı
p/8, ..., ve hepsini toplarsak
B ile başlayan istenen durumların olasılığı
p/2+p/4+p/8+...=p olur. Yani,
A ile başlayanların (ve en az 4 harf içerenlerin) olasılığı
p ise,
B ile başlayanların da olasılığı
p olur. Dolayısıyla, toplam cevap
2p+1/8 (
1/8, 3 harfli ilk olay için geçerli).
p'nin değerini bulmak için yukarıdaki tabloda verilen tüm durumlara yakından bakalım, özellikle
A ile başlayan gruba:
-------------
AABA
AAA*---*AABA
AABB*--*AABA
ABB*---*AABA
-------------
Bu gruptaki her olayın ilk harfi
A, bunu çıkarırsak geriye ne kalır:
-------------
ABA
AA*---*AABA
ABB*--*AABA
BB*---*AABA
-------------
Peki, sadece bu olayların ihtimali nedir:
1/8+p+p/2 (*). Baştaki sildiğimiz
A'nın olasığını da işin içine katarsak;
1/2(1/8+p+p/2)=1/16+3p/4. Ama bu grubun olasılığına en başta
p demiştik. Dolayısıyla,
p=1/16+3p/4 => p=1/4 => Cevap:
2p+1/8=5/8.
(
*):
1/8,
ABA'nın (en başta) gerçekleşme olasığı,
p,
A ile başlayanların olasılığı,
p/2,
BB ile başlayanların olasılığı (daha önce yaptığımız mantıkla, yani
p/4+p/8+p/16+...=p/2).
Dipnot: Yukarıdaki çözümün en basit/güzel/kısa/zeki/vs. çözüm olduğunu iddia etmiyorum, sonsuz farklı çözümden sadece biri.